העתקות לינאריות

4. העתקות לינאריות (Linear Transformations)

הגדרה, גרעין ותמונה

עד כה עסקנו ב-מרחב וקטורי בפני עצמו. כעת אנו בוחנים פונקציות המקשרות בין מרחבים וקטוריים שונים, ומשמרות את המבנה האלגברי שלהם.

• העתקה לינארית: פונקציה $T:V\to W$ שמשמרת חיבור וקטורים ו-כפל בסקלר. מקרה פרטי וחשוב מאוד (שיופיע המון בנושא של ערכים עצמיים ולוכסון) הוא אופרטור לינארי, שבו ההעתקה היא מהמרחב לעצמו ($T:V\to V$).
• גרעין של העתקה ($\ker (T)$): אוסף כל הוקטורים ב-$V$ שנשלחים לוקטור האפס ב-$W$. זהו תמיד תת-מרחב וקטורי של $V$.
• תמונה של העתקה ($\text{Im}(T)$): אוסף כל הוקטורים ב-$W$ ש”פגעו” בהם. זהו תת-מרחב וקטורי של $W$. [Image of linear transformation from vector space V to vector space W showing kernel mapping to zero and image in W]
• משפט הדרגה והאפסיות: אחד המשפטים המרכזיים באלגברה לינארית, הקושר בין ה-מימד של הגרעין (האפסיות) למימד של התמונה (הדרגה), וקובע שסכומם שווה למימד של המרחב כולו ($V$).

מטריצה מייצגת העתקה

כל העתקה לינארית בין מרחבים מממד סופי ניתנת ל”תרגום” לשפת המטריצות! זה מאפשר לנו להשתמש בכל הכלים מחלק 3 (כמו דטרמיננטה או מטריצה הפיכה) על פונקציות מופשטות. כדי לעשות זאת, אנו חייבים לבחור בסיס לכל מרחב, ולעבוד עם קואורדינטות של וקטור.

• מטריצה מייצגת העתקה: מטריצה (נסמנה ב-$[T]$) שפעולת הכפל שלה בוקטור קואורדינטות שקולה להפעלת ההעתקה $T$ עצמה.

שינוי בסיס ומטריצת מעבר

מה קורה כשאנחנו רוצים להסתכל על אותה העתקה, אבל דרך “משקפיים” אחרות (כלומר, בסיס אחר)?

• מטריצת מעבר בסיס: מטריצה מיוחדת המתרגמת קואורדינטות של וקטור מבסיס אחד לבסיס אחר.
• שינוי בסיס להעתקה: הקשר בין מטריצות המייצגות את אותה העתקה בבסיסים שונים מבוטא דרך הנוסחה $[T{]}_C=P^{-1}[T{]}_{B}P$. תכונה זו תעמוד בבסיס ההגדרה של מטריצות דומות והתהליך של לכסון מטריצות בהמשך.

איזומורפיזם

האם שני מרחבים וקטוריים שונים הם בעצם “אותו דבר” בתחפושת?

• העתקה חח”ע (חד-חד-ערכית): העתקה שלא “מועכת” שני וקטורים שונים לאותה תוצאה. שקול לכך שה-גרעין מכיל רק את וקטור האפס.
• העתקה על: העתקה שמכסה את כל המרחב המקבל (ה-תמונה שווה לכל $W$).
• העתקה הפיכה: העתקה שהיא גם חח”ע וגם על. במקרה כזה, קיימת לה העתקה הפוכה $T^{-1}$.
• איזומורפיזם: מרחבים שקיימת ביניהם העתקה הפיכה נקראים איזומורפיים. המשמעות המדהימה היא ששני מרחבים מעל אותו שדה הם איזומורפיים אם ורק אם יש להם את אותו מימד!