משפט הדרגה והאפסיות

משפט הדרגה והאפסיות (Rank-Nullity Theorem)

אחד המשפטים העוצמתיים ביותר באלגברה לינארית. עבור כל העתקה לינארית $T:V\to W$ (כאשר ל-$V$ יש מימד סופי), מתקיים הקשר הבא:

$\dim (\ker (T))+\dim (\text{Im}(T))=\dim (V)$

במילים: האפסיות (מימד ה-גרעין) ועוד הדרגה (מימד ה-תמונה) שווים למימד של מרחב המוצא $V$.

משמעות: יש “שימור מידע” במרחב. המימדים ש”נמחקים” והופכים לאפס (הגרעין) פלוס המימדים ש”שורדים” ועוברים ל-$W$ (התמונה), מרכיבים יחד את כל המימדים שהיו במרחב המקורי. משפט זה מזכיר מאוד את משפט הממדים של גראסמן.