ערכים עצמיים ולוכסון

5. ערכים עצמיים ולוכסון

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

כאשר אנו מפעילים אופרטור לינארי (או כופלים במטריצה ריבועית), רוב הוקטורים במרחב משנים את הכיוון שלהם. אך ישנם וקטורים מיוחדים ששומרים על הכיוון המקורי שלהם (או מתהפכים בדיוק ב-180 מעלות), ורק אורכם משתנה (נמתחים או מתכווצים).

• וקטור עצמי (Eigenvector): וקטור שונה מאפס שכיוונו לא משתנה תחת ההעתקה.
• ערך עצמי (Eigenvalue): הסקלר (המספר) שבו הוקטור העצמי נמתח או מתכווץ. לרוב מסומן באות היוונית $\lambda$ (למבדה). המשוואה היסודית היא $Av=\lambda v$.
• פולינום אופייני: פולינום שהשורשים שלו הם בדיוק הערכים העצמיים של המטריצה. מחושב בעזרת דטרמיננטה: $p_A(\lambda )=\det (\lambda I-A)$.

ריבוי אלגברי וגיאומטרי

לכל ערך עצמי יש “משקל” או חשיבות שניתן למדוד בשתי דרכים שונות:

• ריבוי אלגברי: כמה פעמים הערך העצמי מופיע כשורש של ה-פולינום אופייני.
• מרחב עצמי: אוסף כל הוקטורים העצמיים ששייכים לאותו ערך עצמי (בתוספת וקטור האפס).
• ריבוי גיאומטרי: ה-מימד של המרחב העצמי (כלומר, כמה וקטורים עצמיים בת”ל יש לאותו ערך עצמי). תמיד מתקיים שהריבוי הגיאומטרי קטן או שווה לריבוי האלגברי.

לכסון מטריצות

השאיפה הגדולה שלנו היא להציג העתקות מסובכות בצורה הכי פשוטה שאפשר.

• מטריצה אלכסונית: מטריצה שבה כל האיברים מחוץ לאלכסון הראשי הם אפס. כפל במטריצה כזו הוא פשוט ומהיר מאוד.
• מטריצות דומות: שתי מטריצות שמייצגות את אותה העתקה אבל ב-בסיס שונה.
• לכסון מטריצות: התהליך של מציאת מטריצה הפיכה $P$ ומטריצה אלכסונית $D$ כך ש-$A=PD{P}^{-1}$. מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם יש לה “מספיק” וקטורים עצמיים כדי ליצור בסיס לכל המרחב (שקול לכך שעבור כל ערך עצמי, הריבוי האלגברי שווה לריבוי הגיאומטרי).

משפט קיילי-המילטון

קשר מופלא בין מטריצות לפולינומים:

• פולינום מאפס: פולינום שאם “נציב” בו את המטריצה $A$, התוצאה תהיה מטריצת האפס.
• משפט קיילי-המילטון: כל מטריצה ריבועית מאפסת את ה-פולינום אופייני של עצמה! כלומר, $p_A(A)=0$.
• פולינום מינימלי: ה-פולינום המאפס בעל המעלה הקטנה ביותר (והמתוקן). הוא מחלק כל פולינום מאפס אחר, ויש לו בדיוק את אותם שורשים כמו לפולינום האופייני. קריטריון נוסף ללכסון: מטריצה לכסינה אם ורק אם הפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים לינאריים שונים.