שדה

שדה (Field)

שדה הוא מבנה אלגברי בסיסי (מסומן לרוב ב-$\mathbb{F}$) המורכב מקבוצת איברים יחד עם שתי פעולות בינאריות: חיבור ($+$) וכפל ($\cdot$).

כדי שקבוצה תקרא “שדה”, היא חייבת לקיים את כל האקסיומות הבאות לכל $a,b,c\in \mathbb{F}$:

1. סגירות: תוצאת החיבור והכפל של כל שני איברים נשארת בשדה.
2. חילופיות: $a+b=b+a$ וגם $a\cdot b=b\cdot a$.
3. קיבוציות: $(a+b)+c=a+(b+c)$ וגם $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
4. איברי יחידה: קיים איבר ניטרלי לחיבור ($0$) כך ש-$a+0=a$, ואיבר ניטרלי לכפל ($1$) כך ש-$a\cdot 1=a$.
5. איברים הופכיים: - לכל $a$ קיים נגדי $-a$ כך ש: $a+(-a)=0$.
   • לכל $a\ne 0$ קיים הופכי $a^{-1}$ כך ש: $a\cdot a^{-1}=1$.
6. פילוג (דיסטריבוטיביות): $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

דוגמאות נפוצות:

• הממשיים ($\mathbb{R}$)
• המרוכבים ($\mathbb{C}$)
• הרציונליים ($\mathbb{Q}$)
• שדות סופיים (${\mathbb{Z}}_p$ כאשר $p$ ראשוני).