פולינום מינימלי

פולינום מינימלי (Minimal Polynomial)

הפולינום המינימלי של מטריצה $A$ (מסומן לרוב $m_A(x)$) הוא הפולינום בעל המעלה הקטנה ביותר, עם מקדם מוביל 1 (מתוקן), שהוא פולינום מאפס של $A$ (כלומר $m_A(A)=0$).

תכונות מפתח:

1. הפולינום המינימלי “מחלק” (ללא שארית) כל פולינום מאפס אחר של $A$, ובפרט מחלק את ה-פולינום אופייני (בגלל משפט קיילי-המילטון).
2. יש לו בדיוק את אותם שורשים כמו לפולינום האופייני, רק (אולי) עם ריבויים (חזקות) קטנים יותר.

קריטריון הלכסון המוחלט: מטריצה ניתנת ל-לכסון אם ורק אם הפולינום המינימלי שלה מתפרק לגורמים לינאריים שונים (כלומר, כל החזקות בפולינום המינימלי הן 1. למשל: $m_A(x)=(x-2)(x-3)$ היא לכסינה, אבל $(x-2{)}^2(x-3)$ אינה לכסינה).