לכסון מטריצות

לכסון מטריצות (Matrix Diagonalization)

לכסון הוא התהליך של הפיכת מטריצה $A$ ל-מטריצה אלכסונית $D$ באמצעות בחירת בסיס חכם. נאמר ש-$A$ “לכסינה” אם היא קשורה כיחס של מטריצות דומות למטריצה אלכסונית. כלומר, אם קיימת מטריצה הפיכה $P$ ומטריצה אלכסונית $D$ כך ש: $A=PD{P}^{-1}$

איך מפרקים את זה?

• $D$: מטריצה שעל האלכסון שלה יושבים ה-ערכים העצמיים של $A$.
• $P$: המטריצה המלכסנת. עמודותיה הן ה-וקטורים העצמיים של $A$ (המסודרים באותו סדר של הערכים העצמיים ב-$D$).

תנאי ללכסון: מטריצה מסדר $n\times n$ היא לכסינה אם ורק אם יש לה $n$ וקטורים עצמיים בת”ל (כלומר, הם מהווים בסיס למרחב). תנאי שקול: עבור כל ערך עצמי של $A$, ה-ריבוי אלגברי שלו שווה ל-ריבוי גיאומטרי שלו.