מרחבים וקטוריים

2. מרחבים וקטוריים (הליבה)

מרחב וקטורי ותתי-מרחבים

מושג יסוד: מרחב וקטורי (Vector Space) מורכב מקבוצה של איברים הנקראים “וקטורים”, מעל שדה כלשהו (כמו $\mathbb{R}$ או $\mathbb{C}$). המרחב מאפשר שתי פעולות: חיבור בין וקטורים, וכפל של וקטור בסקלר (איבר מהשדה).

בתוך מרחב וקטורי גדול, יכולים להתקיים מרחבים קטנים יותר המכונים תת-מרחב וקטורי. כדי שקבוצה תהיה תת-מרחב, היא חייבת להכיל את וקטור האפס, ולהיות סגורה תחת חיבור וכפל בסקלר.

צירופים לינאריים ופרישה

כל פעולה של חיבור וקטורים המוכפלים בסקלרים יוצרת צירוף לינארי. כאשר אנו לוקחים קבוצה של וקטורים ומסתכלים על כל הצירופים הלינאריים האפשריים שלהם, אנו מקבלים את ה-פרישה (Span) של הקבוצה. הפרישה של כל קבוצת וקטורים היא תמיד תת-מרחב וקטורי.

תלות ואי-תלות לינארית

זהו כלי קריטי להבנת המבנה של המרחב:

• תלות לינארית (ת”ל): מצב שבו לפחות אחד מהוקטורים בקבוצה מיותר, כלומר ניתן להביע אותו כצירוף לינארי של האחרים.
• אי-תלות לינארית (בת”ל): אף וקטור לא יכול להיבנות מהאחרים. כל וקטור נותן “כיוון חדש” ועצמאי לחלוטין. בודקים זאת לרוב בעזרת השוואת צירוף לינארי לוקטור האפס, או באמצעות דירוג מטריצת מקדמים.

בסיס ומימד

כאשר קבוצת וקטורים היא גם בת”ל וגם פורשת את כל המרחב, היא נקראת בסיס. הבסיס הוא ה”שלד” המינימלי שבונה את המרחב. מספר הוקטורים בבסיס נקרא מימד המרחב.

• משפט ההשלמה לבסיס: כל קבוצה בת”ל במרחב מממד סופי ניתן להשלים לבסיס של המרחב על ידי הוספת וקטורים.

חיבור מרחבים: סכום וסכום ישר

כשיש לנו שני תתי-מרחבים, $U$ ו-$W$, אנו יכולים לחבר ביניהם.

• סכום של תתי-מרחבים ($U+W$): אוסף כל הוקטורים שניתן להרכיב מחיבור של וקטור מ-$U$ ווקטור מ-$W$.
• סכום ישר ($U\oplus W$): מקרה פרטי של סכום, שקורה כאשר החיתוך בין המרחבים מכיל רק את וקטור האפס ($U\cap W=\{0\}$). בסכום ישר, כל וקטור מתקבל בצורה יחידה.

כדי לקשר בין הממדים של תתי-המרחבים, החיתוך והסכום שלהם, אנו משתמשים ב-משפט הממדים של גראסמן.