פולינום אופייני

פולינום אופייני (Characteristic Polynomial)

הפולינום האופייני של מטריצה ריבועית $A$ מסדר $n\times n$, המסומן לרוב ב-$p_A(\lambda )$ או $f_A(x)$, הוא פולינום במשתנה $\lambda$ המוגדר על ידי ה-דטרמיננטה: $p_A(\lambda )=\det (\lambda I-A)$ (או באופן שקול $\det (A-\lambda I)$).

למה זה חשוב? השורשים של הפולינום האופייני (כלומר, הפתרונות למשוואה $p_A(\lambda )=0$) הם בדיוק ה-ערכים העצמיים של המטריצה $A$. זה נובע מכך ש-$Av=\lambda v⟹(\lambda I-A)v=0$. כדי שלמערכת הומוגנית זו יהיה פתרון לא טריוויאלי ($v\ne 0$), המטריצה $(\lambda I-A)$ חייבת להיות לא הפיכה, ולכן הדטרמיננטה שלה חייבת להיות אפס.

תכונות המקדמים: במעבר על הפולינום ${\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_0$:

• המקדם של ${\lambda }^{n-1}$ קשור ל-עקבה (Trace) של $A$ (מינוס העקבה).
• המקדם החופשי $c_0$ שווה ל-דטרמיננטה של $A$ (עד כדי סימן $(-1{)}^n$).