יסודות המבנים האלגבריים

שדות (Fields)

הגדרה: שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה של איברים יחד עם שתי פעולות בינאריות, לרוב חיבור ($+$) וכפל ($\cdot$), שמקיימות מערכת של אקסיומות (תכונות) בסיסיות. השדה מאפשר ביצוע פעולות אריתמטיות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק (למעט חילוק באפס) באופן עקבי וחד-משמעי.

תכונות השדה (האקסיומות)

כדי שקבוצה $F$ תיחשב כשדה מעל הפעולות חיבור וכפל, היא חייבת לקיים את התנאים הבאים (לכל $a,b,c\in F$):

• סגירות (Closure): הסכום $a+b$ והמכפלה $a\cdot b$ נמצאים גם הם ב-$F$.

• קיבוציות (Associativity): $(a+b)+c=a+(b+c)$ וכך גם בכפל: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

• חילופיות (Commutativity): $a+b=b+a$ וכך גם בכפל: $a\cdot b=b\cdot a$.

• קיום איברי יחידה (Identity Elements): * קיים איבר ניטרלי לחיבור, מסומן ב-$0$, כך ש: $a+0=a$.

  • קיים איבר ניטרלי לכפל, מסומן ב-$1$ (כאשר $1\ne 0$), כך ש: $a\cdot 1=a$.

• קיום איברים הופכיים (Inverses):

  • נגדי לחיבור: לכל $a$ קיים איבר $-a$ כך ש-$a+(-a)=0$.

  • הופכי לכפל: לכל $a\ne 0$ קיים איבר $a^{-1}$ כך ש-$a\cdot a^{-1}=1$.

• פילוג (Distributivity): מחבר בין שתי הפעולות: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

דוגמאות לשדות נפוצים

1. המספרים הרציונליים ($\mathbb{Q}$): כל השברים מהצורה $\frac{a}{b}$ (כאשר $b\ne 0$ ו-$a,b$ שלמים).

2. המספרים הממשיים ($\mathbb{R}$): כל המספרים על ציר המספרים (כולל רציונליים ואי-רציונליים כמו $\pi$ או $\sqrt{2}$).

3. המספרים המרוכבים ($\mathbb{C}$): מספרים מהצורה $a+bi$ כאשר $i^2=-1$. השדה הזה חיוני מאוד בהמשך (במיוחד בנושא ערכים עצמיים ולוכסון).

4. שדות סופיים (${\mathbb{Z}}_p$): קבוצת השאריות מחילוק במספר ראשוני $p$. פעולות החיבור והכפל מבוצעות מודולו $p$. _הערה: אם $p$ אינו ראשוני, המבנה אינו שדה כי יהיו איברים שונים מאפס ללא הופכי כפלי (מחלקי אפס).

מערכות משוואות לינאריות

הגדרה: אוסף של משוואות לינאריות עם אותם משתנים ($x_1,x_2,\dots ,x_n$). המטרה היא למצוא הצבה של ערכים במשתנים כך שכל המשוואות יתקיימו בו-זמנית.

כל מערכת משוואות ניתן לייצג בצורה אלגברית באמצעות כפל מטריצות:

$Ax=b$

• $A$ היא מטריצת המקדמים.

• $x$ הוא וקטור הנעלמים.

• $b$ הוא וקטור האיברים החופשיים.

שיטת הדירוג של גאוס (Gaussian Elimination)

שיטה שיטתית לפתרון מערכות לינאריות על ידי הבאת מטריצה מורחבת (המטריצה $A$ כשלצידה העמודה $b$) ל**צורה מדורגת** ואף ל**צורה מדורגת קנונית**.

השיטה מתבססת על 3 פעולות שורה אלמנטריות שאינן משנות את פתרון המערכת:

1. החלפה: החלפת מקום בין שתי שורות ($R_i\leftrightarrow R_j$).

2. כפל בסקלר: כפל של שורה בסקלר שונה מאפס ($R_i\leftarrow c\cdot R_i$).

3. הוספה: הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת ($R_i\leftarrow R_i+c\cdot R_j$).

סוגי פתרונות של מערכת לינארית

לאחר דירוג המטריצה המורחבת, ניתן לקבוע מיד את מצב הפתרונות. קיימים בדיוק 3 מצבים אפשריים:

סוג הפתרון	תנאי לזיהוי לאחר דירוג	משמעות גיאומטרית (ב-R2 או R3)
פתרון יחיד	אין שורות סתירה, ויש איבר פותח (Pivot) בכל עמודה של משתנה (אין משתנים חופשיים).	הישרים/המישורים נחתכים בנקודה אחת בדיוק.
אינסוף פתרונות	אין שורות סתירה, ויש לפחות עמודה אחת ללא איבר פותח (משתנה חופשי).	הישרים/המישורים מתלכדים או נחתכים לאורך ישר.
אין פתרון	קיימת שורת סתירה: שורה שכולה אפסים במקדמים, אך מספר שונה מאפס בעמודת האיבר החופשי (למשל $0=5$).	הישרים/המישורים מקבילים ואינם נחתכים באותה נקודה.