מרחבי מכפלה פנימית

6. מרחבי מכפלה פנימית (Inner Product Spaces)

מכפלה פנימית ונורמה

עד עכשיו, מרחב וקטורי היה מושג אלגברי טהור. כעת נוסיף לו מבנה גיאומטרי.

• מכפלה פנימית: פונקציה הלוקחת שני וקטורים ומחזירה סקלר (מספר). היא מאפשרת לנו למדוד “עד כמה שני וקטורים מצביעים לאותו כיוון”.
• נורמה: האורך הפיזי של וקטור במרחב. מוגדרת תמיד בעזרת המכפלה הפנימית של הוקטור עם עצמו.
• בעזרת המכפלה הפנימית והנורמה, נוכל למצוא את הזווית בין וקטורים, וכן לחשב היטל אורתוגונלי (ההטלה של וקטור אחד על גבי וקטור אחר, כמו צל). [Image of orthogonal projection of vector v onto vector u]

אורתוגונליות וגרם-שמידט

כשיש לנו דרך למדוד זוויות, המצב האידיאלי הוא למצוא כיוונים שלא תלויים זה בזה גיאומטרית (זווית של 90 מעלות).

• אורתוגונליות: שני וקטורים הם אורתוגונליים (מאונכים) אם המכפלה הפנימית שלהם היא בדיוק אפס.
• קבוצה אורתונורמלית: קבוצת וקטורים שכולם מאונכים זה לזה, ובנוסף האורך (הנורמה) של כל אחד מהם הוא בדיוק 1.
• מתוך זה נגזר המושג של בסיס אורתונורמלי - הבסיס המושלם והנוח ביותר לעבוד איתו.
• תהליך גרם-שמידט: אלגוריתם שמאפשר לנו לקחת כל בסיס רגיל, ו”ליישר” אותו צעד אחר צעד עד שהוא הופך לבסיס אורתוגונלי (או אורתונורמלי).

משלים אורתוגונלי

מה קורה לכל מה שמאונך לתת-מרחב מסוים?

• משלים אורתוגונלי: אוסף כל הוקטורים במרחב שמאונכים לכל הוקטורים בתוך תת-מרחב וקטורי מסוים (מסומן כ-$W^{\perp }$).
• משפט הפירוק קובע שכל מרחב בעל מימד סופי ניתן לפירוק כ-סכום ישר של תת-מרחב והמשלים האורתוגונלי שלו: $V=W\oplus W^{\perp }$.

העתקות צמודות ואופרטורים נורמליים

כמו שלמספר מרוכב יש צמוד מרוכב, גם להעתקות לינאריות יש גרסה “צמודה” ביחס למכפלה הפנימית.

• העתקה צמודה: העתקה מיוחדת (המסומנת ב-$T^{\ast }$) שמעבירה את הפעולה של $T$ מצד אחד של המכפלה הפנימית לצד השני.
• אופרטור נורמלי: אופרטור שמתחלף בכפל עם ההעתקה הצמודה שלו ($T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$).
• המשפט הספקטרלי: היהלום שבכתר! קובע שאופרטור הוא נורמלי (במרחב מרוכב) אם ורק אם הוא ניתן ל-לכסון אוניטרי (כלומר, קיים לו בסיס אורתונורמלי המורכב מ-וקטורים עצמיים). עבור מרחב ממשי, המשפט קובע שרק מטריצה סימטרית ניתנת ללכסון אורתוגונלי.