מכפלה פנימית

מכפלה פנימית (Inner Product)

מכפלה פנימית על מרחב וקטורי $V$ מעל שדה $\mathbb{F}$ (הממשיים או המרוכבים) היא פונקציה שלוקחת שני וקטורים $u,v$ ומחזירה סקלר, המסומן כ-$⟨u,v⟩$.

כדי שפונקציה תיחשב למכפלה פנימית, היא חייבת לקיים 3 אקסיומות לכל $u,v,w\in V$ וסקלר $\alpha$:

1. לינאריות ברכיב הראשון: $⟨\alpha u+v,w⟩=\alpha ⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$.
2. הרמיטיות (החלפה): $⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$ (הקו העליון מסמן צמוד מרוכב. במרחב ממשי זה פשוט אומר שהמכפלה חילופית: $⟨u,v⟩=⟨v,u⟩$).
3. אי-שליליות: $⟨v,v⟩\ge 0$, ומתקיים $⟨v,v⟩=0$ אם ורק אם $v$ הוא וקטור האפס.

המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-${\mathbb{R}}^n$ היא מכפלת נקודה (Dot Product).