3. מטריצות ודטרמיננטות
אלגברה של מטריצות
מטריצות הן לא רק כלי לייצוג מערכת משוואות לינאריות, אלא אובייקטים מתמטיים שניתן לבצע עליהם פעולות. מלבד חיבור וכפל בסקלר, קיימות פעולות ייחודיות:
- כפל מטריצות: פעולה שאינה קומוטטיבית (חילופית), המייצגת הרכבה של העתקות לינאריות. [Image of matrix multiplication dot product method]
- שעתוק (Transpose): החלפת תפקידי השורות והעמודות במטריצה.
- עקבה (Trace): סכום איברי האלכסון הראשי של מטריצה ריבועית.
מטריצות הפיכות
באלגברה של מספרים ממשיים, לכל מספר (פרט לאפס) יש הופכי לכפל. במטריצות, התמונה מורכבת יותר:
- מטריצה הפיכה: מטריצה ריבועית שקיימת לה מטריצה הופכית, כך שמכפלתן נותנת את מטריצת היחידה ().
- מציאת מטריצה הופכית: אלגוריתם מעשי לחישוב ההופכית, לרוב באמצעות דירוג צמוד למטריצת היחידה.
מטריצות מיוחדות
ישנן משפחות של מטריצות בעלות תכונות מבניות ספציפיות, שמשחקות תפקיד מפתח בפיזיקה, הנדסה ומשפטי לוכסון:
- מטריצה סימטרית: מטריצה ששווה למשוחלפת של עצמה.
- מטריצה אנטי-סימטרית: מטריצה ששווה למינוס המשוחלפת של עצמה.
- במרחבים מעל שדה המרוכבים (), אנו מדברים על מטריצה הרמיטית (הכללה של סימטרית) ו-מטריצה יוניטרית (מטריצה משמרת אורך).
דטרמיננטה
הגדרה: ה-דטרמיננטה היא פונקציה המתאימה לכל מטריצה ריבועית סקלר (מספר). היא מספקת מידע קריטי על המטריצה: האם היא הפיכה, ומהו נפח המקבילון שיוצרות עמודות המטריצה במרחב.
- פיתוח דטרמיננטה לפי שורה או עמודה: שיטה (הנקראת גם פיתוח לפלס) לחישוב הדטרמיננטה על ידי הקטנת סדר המטריצה בכל שלב.
- כלל קרמר: נוסחה סגורה המשתמשת בדטרמיננטות כדי לפתור מערכת משוואות לינאריות עם פתרון יחיד.