משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון (Cayley-Hamilton Theorem)

זהו אחד המשפטים המפתיעים באלגברה: “כל מטריצה ריבועית מאפסת את ה-פולינום אופייני של עצמה.”

אם $p_A(\lambda )$ הוא הפולינום האופייני של מטריצה $A$, אז אם נציב את $A$ בפולינום נקבל את מטריצת האפס: $p_A(A)=0$

(לכן, הפולינום האופייני הוא סוג של פולינום מאפס). שימושים עיקריים: - מציאת פולינום מאפס בקלות.

• חישוב $A^{-1}$ (אם היא קיימת) כפולינום ממעלה $n-1$ ב-$A$.
• חישוב חזקות גבוהות של המטריצה ($A^k$) בצורה יעילה על ידי חילוק פולינומים.