המשפט הספקטרלי

המשפט הספקטרלי (Spectral Theorem)

אחד המשפטים האלגנטיים והעוצמתיים ביותר באלגברה לינארית. הוא עונה על השאלה: מתי קיים לאופרטור בסיס אורתונורמלי שמורכב כולו מ-וקטורים עצמיים שלו? (כלומר, מתי המטריצה גם עוברת לכסון וגם הבסיס המלכסן הוא מושלם אורתוגונלית).

המשפט קובע:

1. מעל המרוכבים ($\mathbb{C}$): אופרטור $T$ ניתן ללכסון אוניטרי (יש לו בסיס א”נ של וקטורים עצמיים) אם ורק אם הוא אופרטור נורמלי ($T{T}^{\ast }=T^{\ast }T$).
2. מעל הממשיים ($\mathbb{R}$): אופרטור $T$ ניתן ללכסון אורתוגונלי אם ורק אם הוא אופרטור צמוד-לעצמו (כלומר, המטריצה שלו היא מטריצה סימטרית ממשית, $A=A^T$).

המשפט הזה הוא הבסיס למכניקת הקוונטים, שם גדלים פיזיקליים מדידים (כמו תנע או אנרגיה) מיוצגים תמיד על ידי אופרטורים הרמיטיים/סימטריים, ולכן תמיד יש להם מצבים עצמיים (בסיס א”נ) וערכים עצמיים ממשיים.