תהליך גרם-שמידט

תהליך גרם-שמידט (Gram-Schmidt Process)

זהו אלגוריתם המקבל בסיס רגיל של מרחב וקטורי, ומייצר ממנו בסיס חדש שהוא אורתוגונלי (או בסיס אורתונורמלי) שפורש בדיוק את אותו המרחב.

הרעיון: בכל שלב לוקחים וקטור מהבסיס הישן, ומחסרים ממנו את כל ה-היטלים האורתוגונליים שלו על הוקטורים שכבר מצאנו בשלבים הקודמים. כך נשאר רק ה”כיוון החדש” שמאונך לכל מה שמצאנו עד כה.

הנוסחה הרקורסיבית:

1. $u_1=v_1$
2. $u_2=v_2-{\text{Proj}}_{u_1}(v_2)$
3. $u_3=v_3-{\text{Proj}}_{u_1}(v_3)-{\text{Proj}}_{u_2}(v_3)$ … וכן הלאה. בסוף התהליך מנרמלים את כל הוקטורים $u_i$ (מחלקים כל וקטור ב-נורמה שלו) כדי לקבל בסיס אורתונורמלי.